题目内容

精英家教网已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）当
6
＜m＜4
6
时，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；
（2）设|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ
的范围，进而求得θ的取值范围．
（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出|
OQ
|最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．
解答：解：（1）由已知得
1
2
OF
• 
FQ
sin(π-θ)=2
6
OF
 • 
FQ
cosθ =m
，∴tanθ=
4
6
m
，
∵
6
＜m＜4
6
，∴1＜tanθ＜4，∴
π
4
＜θ＜arctan4．
（2）设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），
n＞0，则
FQ
=（m-c，n），∵△OFQ的面积为
1
2
|
OF
|•n=2
6
，∴n=
4
6
c
．
又由
OF
•
FQ
=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（
6
4 
-1）c2，∴m=
6
c
4
，
|
OQ
|=
m2+n2
=
3c2
8
+
96
c2
≥
12
，当且仅当c=4时，|
OQ
|有最小值，
此时，点Q的坐标为（
6
，
6
），由此可得
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16
，解得
a2=4
b2=12
，
故所求的方程为：
x2
4
-
y2
12
=1．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数法求双曲线的方程．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范围；
（Ⅱ）设|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当|
OQ
|取最小值时，求椭圆的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．
已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
与
FQ
的夹角θ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．
（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
（2007•天津一模）已知△OFQ的面积为2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）设4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夹角θ的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，当|
OQ
|取最小值时，求此双曲线的方程．

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