Question

16、甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出．
（Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率；
（Ⅱ）求乙队获胜的概率；
（Ⅲ）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）甲队以二比一获胜的概率，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜．由已知条件一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，结合独立事件的概率公式易得到结果．
（2）乙队获胜分为两种情况：一是2：0胜，一是2：1胜，可分别计算后相加得出结果．
（3）分别计算三场两胜制甲的胜率和五场三胜制甲的胜率，并进行比较不难得到答案．

解答：解：（Ⅰ）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为P₁=C₂¹×0.6×0.4×0.6=0.288．
（Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为P'₂=0.4×0.4=0.16；
乙队以2：1获胜的概率为P''₂=C₂¹0.4×0.6×0.4=0.192
∴乙队获胜的概率为P₂=0.4²+C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352
（Ⅲ）若三场两胜，则甲获胜的概率P₃=0.6²+C₂¹×0.6×0.4×0.6=0.36+0.288=0.648
或P₃=1-P₂=1-0.352=0.648；
若五场三胜，
则甲获胜的概率P'₃=0.6³+C₃²×0.6²×0.4×0.6+C₄²×0.6²×0.4²×0.6=0.216+0.2592+0.20736=0.68256
∵P₃＜P'₃，
∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大．

点评：若A事件发生的概率为P（A），B事件发生的概率为P（B），则
①A，B同时发生的概率为P（A）P（B）；
②A，B同时不发生的概率为P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）；
③A不发生B发生的概率为P（$\overline{A}$）P（B）；
④A发生B不发生的概率为P（A）P（$\overline{B}$）；