题目内容

下列说法中,正确的有
 

①若点P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点,则该点到抛物线的焦点的距离是|PF|=x0+
p
2

②设F1、F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两个焦点,P(x0,y0)为双曲线上一动点,∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积为b2tan
θ
2

③设定圆O上有一动点A,圆O内一定点M,AM的垂直平分线与半径OA的交点为点P,则P的轨迹为一椭圆;
④设抛物线焦点到准线的距离为p,过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,则
1
|AF|
1
p
1
|BF|
成等差数列.
分析:①根据抛物线的定义进行判断.②根据双曲线的定义和性质以及三角形的面积公式进行判断.③根据椭圆的定义和性质进行判断.④根据抛物线的定义以及等差数列的定义进行判断.
解答:①抛物线的准线方程为x=-
p
2
,根据抛物线的定义可知,|PF|等于P到准线的距离即|PF|=x0+
p
2
,∴①正确.
②设|PF1|=x,|PF2|=y,(不妨设x>y),则x-y=2a,由余弦定理得|F1F2|2=x2+y2-2xycosθ,
即4c2=(x-y)2+2xy-2xycosθ,
∴4c2=4a2+xy(2-2cosθ),即xy=
4b2
2-2cosθ

∴△PF1F2的面积为
1
2
xysinθ
=
1
2
×
4b2
2-2cosθ
×sinθ=b 2
sinθ
1-cosθ
=b2tan
θ
2
,∴②正确.
③根据垂直平分线的性质可得|PM|=|PA|,∴|PO|+|PA|=|PO|+|PM|=|OA|>|OM|,
即点P到点O和点M的距离之和等于圆的半径|OA|,且|OA|>|OM|,精英家教网
根据椭圆的定义可得点P的轨迹是以点O和点M为焦点的椭圆,∴③正确.
④设抛物线方程为y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+
p
2
,|BF|=x2+
p
2

设过F的直线斜率为k,若k不存在,则|AF|=|BF|=p,此时满足
1
|AF|
1
p
1
|BF|
成等差数列.
若k存在,则直线AB的方程为y=k(x-
p
2
),代入抛物线方程y2=2px
k2x2-p(k2+2)x+
k2p2
4
=0

x1x2=
p2
4
x1+x2=
k2p+2p
k2

1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
2x1+p
+
2
2x2+p
=
4(x1+x2)+4p
(2x1+p)(2x2+p)
=
4×(x1+x2)+4p
4x1x2+2p(x1+x2)+p2

=
4?(
k2+2
k2
)p+4p
4?
p2
4
+2p?(
k2+2
k2
)+p2
=
8k2+8
(4k2+4)p2
=
2
p

1
|AF|
+
1
|BF|
=
2
p
,∴
1
|AF|
1
p
1
|BF|
成等差数列.正确,∴④正确.
故答案为:①②③④.
点评:本题主要考查了圆锥曲线的定义和性质,综合性较强,难度较大,考查学生的运算能力.
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