Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l过点A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB为直径作圆M，连接MO并延长，与椭圆C的第三象限部分交于N，若直线NB是圆M的切线，求椭圆的离心率；
（2）已知三点D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圆M与△DEG恰有一个公共点，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆的离心率，只需找到a，c的齐次式，根据直线NB是圆M的切线，则直线NB与直线AB垂直，斜率等于AB斜率的负倒数，得到直线NB的方程，再求出直线MO的方程，与直线NB联立，解为N点坐标，又因为N点在椭圆上，代入椭圆方程，即可得到含a，c的方程，解出离心率．
（2）圆M与△DEG恰有一个公共点，圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，由此可得两个含a，b的方程，解方程组可得．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（

a

2

，

b

2

）
∴直线MO方程为y=

b

a

x
∵直线AB斜率为-

b

a

，直线NB是圆M的切线，∴直线NB的斜率为

a

b

∴直线NB方程为y=

a

b

x+b
由

y= b a x y= a b x+b

得N（

ab2

b2-a2

，

b3

b2-a2

）
又∵N点在椭圆上

x2

a2

+

y2

b2

=1，∴

( ab2 b2-a2 )2

a2

+

( b3 b2-a2 )2

b2

=1
化简，得2b⁴=（b²-a²）²
2a⁴-4a²c²+c⁴=0，∴e⁴-4e²+2=0
e²=2-

2

，∴e=

2- 2

（2）∵圆M与△DEG恰有一个公共点，∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，
∴b=

3

4

a，
直线DE的方程为

x

4

+

y

3

=1，即3x+4y-12=0
∴

|3× a 2 +4× b 2 -12|

32 +42

=

a2+ b2

2

把b=

3

4

a代入，化简，得，a=2，∴b=

3

2

椭圆方程为

x2

4

+

4y2

9

=1

点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及椭圆与圆的综合问题，综合性强．