Question

11．已知函数$\left\{\begin{array}{l}{x+k（1-{a}^{2}），（x≥0）}\\{{x}^{2}-4x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R．若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则k的取值范围为（　　）

• A． k≤0
• B． k≥8
• C． 0≤k≤8
• D． k≤0或k≥8

Answer 1

分析 由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a²），进而得到，关于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有实数解，即得△≥0，解出k即可．

解答 解：由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+k（1-{a}^{2}），（x≥0）}\\{{x}^{2}-4x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，
则x=0时，f（x）=k（1-a²），
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立．
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
∴（3-a）²=k（1-a²）即（k+1）a²-6a+9-k=0有实数解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8．
故答案为 （-∞，0]∪[8，+∞）．
故选D．

点评 本题考查了分段函数的运用，主要考查二次函数的性质，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．