题目内容

1.若x,y满足|x|+|y|≤1,则z=$\frac{y}{x-3}$的取值范围是$[{-\frac{1}{3},\;\;\frac{1}{3}}]$.

分析 作出不等式组对应的平面区域,利用斜率公式结合数形结合进行求解即可.

解答 解:作出不等式组对应的平面区域如图,
由$z=\frac{y}{x-3}=\frac{y-0}{x-3}$,由斜率公式可知,其几何意义是点(x,y)与点(3,0)所在直线的斜率,
故而由图可知,${z_{min}}={k_{AI}}=-\frac{1}{3}$,${z_{max}}={k_{BI}}=\frac{1}{3}$,
故而z的取值范围是$[{-\frac{1}{3},\;\;\frac{1}{3}}]$.
故答案为:$[{-\frac{1}{3},\;\;\frac{1}{3}}]$.

点评 本题主要考查线性规划和直线斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

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