题目内容
【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,椭圆
的另一个焦点是
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点
,且与椭圆
交于
,
两点,求
的面积的最大值及此时
内切圆半径.
【答案】(1);(2)
的面积最大值为3,内切圆半径
.
【解析】
(1)由已知可得,根据
可得
,将
代入椭圆可得
,从而可得
,可得椭圆方程;
(2)根据可得
,换元可得
,根据单调性可求得面积的最大值为3,根据
(
为三角形内切圆半径),可求得三角形内切圆半径.
(1)设椭圆方程为,.点
在直线
上,且点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,则点
.
∵.即
,∴
,所以
,
又,
解得,
∴椭圆方程为.
(2)由(1)知,
设直线方程为
,
,
,则
,消去
得
,
∴.
∴
,
令,则
,∴
.
令,
,
当时,
,
在
上单调递增,
∴,当
时取等号,
即当时,
的面积最大值为3.
过点的直线与椭圆
交于
,
两点,则
的周长为
.
又(
为三角形内切圆半径),
∴当的面积最大时,
,得内切圆半径
.

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