题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,当
时,解关于
的不等式
;
(2)证明:有且仅有2个零点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)先由导数的知识判断出在
上单调递增,再由不等式
得
,解之即可;(2)由(1)可知函数
在
上没有零点,
当时,令
,则
,易知
,则
在
上单调递增,再根据
、
得出
,使得
,得
在
上单调递减,在
上单调递增,
然后由、
、
并结合函数的零点存在性定理可得
在
,
上分别有一个零点.
(1)当时,
.
故在
上单调递增,∴不等式等价于
解得
.
故关于的不等式的解集为
.
(2)证明:由(1)知函数在
上单调递增,且
.
∴函数在
上没有零点.
设,
,
当时,
,
,∴
.∴
在
上单调递增.
易知在
上单调递增,且
,
.
故,使得
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
又因为,
,
.
所以在
,
上分别有一个零点.
综上所述:有且仅有2个零点.

练习册系列答案
相关题目
【题目】通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下列联表:
(1)能否有的把握认为是否爱好该项运动与性别有关?请说明理由.
(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”,现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛,求选出的2人中恰有1名女大学生的概率.
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 15 | 25 | 40 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中