题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）若，当
时，解关于
的不等式
；
（2）证明：
有且仅有2个零点.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）先由导数的知识判断出
在
上单调递增，再由不等式
得
，解之即可；（2）由（1）可知函数在上没有零点，
当
时，令
，则
，易知
，则
在
上单调递增，再根据
、
得出
，使得
，得在
上单调递减，在
上单调递增，
然后由
、
、
并结合函数的零点存在性定理可得在
，
上分别有一个零点.
（1）当
时，
.
故在上单调递增，∴不等式等价于解得
.
故关于
的不等式的解集为.
（2）证明：由（1）知函数在上单调递增，且
.
∴函数在上没有零点.
设，，
当时，
，
，∴.∴
在上单调递增.
易知在上单调递增，且
，
.
故，使得，所以在上单调递减，在上单调递增.
又因为
，
，
.
所以在，上分别有一个零点.
综上所述：有且仅有2个零点.
练习册系列答案
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【题目】通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下
列联表：
（1）能否有
的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．
（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 15 | 25 | 40 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
