Question

（2013•安徽）设数列{a_n}满足a₁=2，a₂+a₄=8，且对任意n∈N^*，函数 f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1cosx-a_n+2sinx满足f′（

π

2

）=0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2（a_n+

1

2an

）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则先求出f^′（x），再利用f′(

π

2

)=0，即可得到数列{a_n}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出a_n；
（II）利用（I）得出b_n，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S_n．

解答：解：（I）∵f^′（x）=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1sinx-a_n+2cosx，f′(

π

2

)=0．
∴2a_n+1=a_n+a_n+2对任意n∈N^*，都成立．
∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d，∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1．
（II）由（I）可得，bn=2(n+1+

1

2n+1

)=2（n+1）+

1

2n

，
∴S_n=2[2+3+…+（n+1）]+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=2×

n(2+n+1)

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=n2+3n+1-

1

2n

．

点评：数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．