题目内容

8.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC的面积S△ABC的最大值.

分析 (1)由已知可得2bcosB=acosC+ccosA,利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,化简解得cosB=$\frac{1}{2}$,即可结合范围求B.
(2)由余弦定理可得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac.(当且仅当a=c成立),结合三角形面积公式即可得解.

解答 解:(1)∵acosC、bcosB、ccosA成等差数列,
∴2bcosB=acosC+ccosA,
∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,
∴cosB=$\frac{1}{2}$,
∴B=60°.
(2)∵b=2,B=60°.
∴由余弦定理可得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac.(当且仅当a=c成立),
∴△ABC的面积S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了等差数列的性质,三角形的解法,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力,属于基础题.

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