Question

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设公比为q，由，a₂=6，S₃=26 求得q=3，从而求得 a₁=2，由此求出等比数列的通项公式．
（2）由等差数列的通项公式求得 d_n=

4×3 n-1

n+1

，利用等差数列的前n项和公式求得可得 A_n=

4• n2•3 n-1

n+1

，再由 A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立，求得 g（n）．再由 dk2=d_m•d_p，求得 m=k=p，这与d_m，d_k，d_p是不同的三项相矛盾，由此得出结论．

解答：解：（1）设公比为q，由，a₂=6，S₃=26 可得

6

q

+6+6q=20，解得q=3，或 q=

1

3

，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差数列的通项公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n=

4×3 n-1

n+1

，
∴A_n=n 2×3^n-1+

n(n-1)

2

•

4×3 n-1

n+1

=

4• n2•3 n-1

n+1

．
∵A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中若存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，
则有 dk2=d_m•d_p，即 (

4×3 k-1

n+1

)2=

4×3 m-1

m+1

•

4×3 p-1

p+1

，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
这与d_m，d_k，d_p是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．