Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥p

2n+1

对一切n∈N^*均成立的最大实数p．

Answer 1

分析：（1）由A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，进而可判断出a_n+2-a_n-1=2，结合等差数列的定义，可判断数列{a_n}为等差数列，进而得到数列的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），进而可得

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
（III）不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥p

2n+1

可化为p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)对n∈N*恒成立，构造函数并求出函数的最小值，可得p的取值范围，进而得到p的最大值．

解答：解：（Ⅰ）对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，
亦即a_n+2-a_n-1=a₂-a₁=2．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），
即a_n+2-qa_n+1=a₂-a₁．由n=1有B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
因为a_n＞0，所以

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
（Ⅲ）（理科）
由题意得p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)对n∈N*恒成立
记F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，
则

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 )

1 2n+1 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为F(1)=

2

3

3

，
∴p≤

2

3

3

，
即pmax=

2

3

3

．

点评：本题考查的知识点是等差数列的定义及通项公式，等比数列的定义及判定方法，数列的递推公式，恒成立问题，是数列与函数的综合应用，难度较大．