Question

设数列{a_n}是公比大小于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设c_n=log₂a_n+1，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得T_n＜对于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（I）设数列{a_n}的公比为q（q＞1），则∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴
∴
解得
∴等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（II）=log₂a_n+1=n，∴，∴
∴T_n==
∴T_n＜对于n∈N^*恒成立，只需m（m+1）≥
∴m≤-或m≥
∴正整数m的最小值为1．
分析：（I）设数列{a_n}的公比为q（q＞1），利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，建立方程组，求得首项与公比，即可得到数列{a_n}的通项公式a；
（II）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数m的最小值．
点评：本题考查了等比数列的通项公式和数列的求和，考查恒成立问题，正确求通项与数列的和是关键．