题目内容

已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(Ⅰ)若a1=1,a2=3,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,证明:数列{an}是公比为q的等比数列;
(Ⅲ) (理科)在(Ⅰ)的条件下,求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥p
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数p.
(Ⅰ)对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列,
所以B(n)-A(n)=C(n)-B(n),
即an+1-a1=an+2-a2
亦即an+2-an-1=a2-a1=2.
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
于是an=1+(n-1)×2=2n-1
(Ⅱ)若对于任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,
则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],
得an+2-a2=q(an+1-a1),
即an+2-qan+1=a2-a1.由n=1有B(1)=qA(1),即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0.
因为an>0,所以
an+2
an+1
=
a2
a1
=q
,故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,
(Ⅲ)(理科)
由题意得p≤
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)对n∈N*
恒成立
F(n)=
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)

F(n+1)
F(n)
=
1
2n+3
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)(1+
1
an+1
)
1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
=
2n+2
(2n+1)(2n+3)
=
2(n+1)
4(n+1)2-1
2(n+1)
2(n+1)
=1

∵F(n)>0,
∴F(n+1)>F(n),
即F(n)是随n的增大而增大F(n)的最小值为F(1)=
2
3
3

p≤
2
3
3

pmax=
2
3
3
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