题目内容
【题目】为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体
的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】分析：在高度
处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为
，截得正方体所得面积为
，解得椎体所得面积为
，
，
，求出
，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可.
详解：在高度处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，
记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，
可得，，
由，可得
，则
，
所以该牟合方盖的体积为
，故选B.
【题目】随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为
类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为
类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到类工人生产能力的茎叶图（左图），类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.
(1)问类、类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的
；
(2)求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若规定生产能力在
内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的
列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表
短期培训 | 长期培训 | 合计 | |
能力优秀 | |||
能力不优秀 | |||
合计 |
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（ | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
. 
