题目内容
半径为4的球面上有A，B，C，D四个点，且满足
•
=0，
•
=0，
•
=0，则S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为
．
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
分析：由题意，三棱锥为长方体的一个角，把三棱锥扩展为长方体，二者的外接球相同，设出长方体的三度，利用长方体的对角线就是球的直径，得到关系，利用基本不等式推出所求面积的最大值即可．
解答：解：半径为4的球面上有A，B，C，D四个点，且满足
•
=0，
•
=0，
•
=0，
所以三棱锥是长方体的一个角，把这个四面体补全为一个立方体．
立方体必然是有外接球的，而外接球唯一，就是题目中的外接球．
设长方体的长：x，宽为：y，高为：z，故x2+y2+z2=82=64
另有不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx
故而所求面积=
（xy+yz+zx）≤
•64=32
当x=y=z时取到．
故答案为：32
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
所以三棱锥是长方体的一个角，把这个四面体补全为一个立方体．
立方体必然是有外接球的，而外接球唯一，就是题目中的外接球．
设长方体的长：x，宽为：y，高为：z，故x2+y2+z2=82=64
另有不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx
故而所求面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x=y=z时取到．
故答案为：32
点评：本题考查球内接多面体，球的性质，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
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