题目内容
半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足
?
=0，
?
=0，
?
=0，则S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为（ ）
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
| A、64 | B、32 | C、16 | D、8 |
分析：由半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足
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=0，
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=0，
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=0，可得AB⊥AC，
AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．设AB=a，AC=b，AD=c，则a2+b2+c2=（2R）2=64．S△ABC+S△ACD+S△ADB=
ab+
bc+
ac，利用ab+bc+ac≤a2+b2+c2即可得出．
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．设AB=a，AC=b，AD=c，则a2+b2+c2=（2R）2=64．S△ABC+S△ACD+S△ADB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足
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=0，
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=0，
•
=0，
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．
设AB=a，AC=b，AD=c，则a2+b2+c2=（2R）2=64．
S△ABC+S△ACD+S△ADB=
ab+
bc+
ac=
(ab+bc+ac)≤
(a2+b2+c2)=32，
当且仅当a=b=c时，S△ABC+S△ACD+S△ADB取得最大值32．
故选：32．
| AB |
| AC |
| AC |
| AD |
| AD |
| AB |
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．
设AB=a，AC=b，AD=c，则a2+b2+c2=（2R）2=64．
S△ABC+S△ACD+S△ADB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当且仅当a=b=c时，S△ABC+S△ACD+S△ADB取得最大值32．
故选：32．
点评：本题考查了内接于球的长方体的性质、向量垂直与数量积的关系、不等式ab+bc+ac≤a2+b2+c2、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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