题目内容
【题目】在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足
，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
，则λ2λ3取到最大值时，2x+y的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. -
D.
【答案】D
【解析】
根据三角形中位线定理及基本不等式，求得λ2λ3的最大值，并求得此时P的位置。由向量加法法则，判断出x与y的关系，进而求出2x+y的值。
由题意，可得∵EF是△ABC的中位线，∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S1=
S=S2+S3，
由此可得λ2λ3
当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立．∴
=
由向量的加法的四边形法则可得，
，
∴两式相加，得
∵由已知得
∴根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y=
.综上所述，可得当λ2λ3取到最大值时，2x+y的值为
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