Question

对于函数f(x)=

1

2

(sinx+cosx)-

1

2

|cosx-sinx|，下列说法正确的是（　　）

• A．该函数的值域是[-1，1]
• B．当且仅当2kπ＜x＜2kπ+

  π

  2

  (k∈Z)时，f（x）＞0
• C．当且仅当x=2kπ+

  π

  2

  (k∈Z)时，该函数取最大值1
• D．该函数是以π为最小正周期的周期函数

Answer 1

分析：直接化简函数的表达式，结合函数的图象，直接判断函数的值域，判断A的正误；利用函数取得最大值的体积判断C的正误；通过函数的周期判断D的正误；即可得到选项．

解答：解：f(x)=

sinx，  sinx＜cosx cosx，  sinx≥cosx

，
借助图象知，函数值域为[-1 ，  

2

2

]，A错；
当且仅当x=2kπ+

π

4

(k∈Z)时，该函数取得最大值

2

2

，C错；
最小正周期为2π，D错．
故选B．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的值域，周期，最大值时自变量的取值的求法，考查计算能力．