题目内容
对于函数f(x)=1-2cos2(x+
)-
cos2x，给出下列四个命题：
（1）函数在区间[
，
]上是减函数；
（2）直线x=
是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移
而得到；
（4）若 R，则f（x）=f（2-x），且的值域是[-
，2]．
其中正确命题的个数是（ ）
| π |
| 4 |
| 3 |
（1）函数在区间[
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
（2）直线x=
| π |
| 6 |
（3）函数f（x）的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移
| π |
| 3 |
（4）若 R，则f（x）=f（2-x），且的值域是[-
| 3 |
其中正确命题的个数是（ ）
分析：由三角函数的恒等变换，把f(x)=1-2cos2(x+
)-
cos2x等价转化为f（x）=2sin（2x-
），由此能求出结果．
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：∵f(x)=1-2cos2(x+
)-
cos2x
=-cos（2x+
）-
cos2x
=sin2x-
cos2x
=2sin（2x-
），
所以：f（x）的减区间满足：
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z，
解得f（x）的减区间是[
π+kπ，
+kπ]，k∈Z，
故函数在区间[
，
]上是减函数，即（1）正确；
f（x）的对称轴方程满足：2x-
=kπ+
，k∈Z，
即x=
+
，k∈Z，
故直线x=
不是函数图象的一条对称轴，即（2）不正确；
函数y=2sin2x的图象向右平移
得到y=2sin（2x-
）≠2sin（2x-
），故（3）不正确；
f（x）≠f（2-x），故（4）不正确．
故选A．
| π |
| 4 |
| 3 |
=-cos（2x+
| π |
| 2 |
| 3 |
=sin2x-
| 3 |
=2sin（2x-
| π |
| 3 |
所以：f（x）的减区间满足：
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
解得f（x）的减区间是[
| 5 |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
故函数在区间[
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
f（x）的对称轴方程满足：2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
即x=
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
故直线x=
| π |
| 6 |
函数y=2sin2x的图象向右平移
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
f（x）≠f（2-x），故（4）不正确．
故选A．
点评：本题考查命题的真假判断的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和三角函数的合理运用．
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