题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
,
,以
,
为邻边作平行四边形
,连接
,
,若二面角
为45°.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由已知二面角得出的边
上的高与
相等,从而得
,再由已知线面垂直得线线垂直,从而可证得线面垂直,最后可得面面垂直;
(2)以为
轴建立空间直角坐标系,用空间向量法求线面角的正弦,然后可得正切.
(1)取中点
,连接
,∵平行四边形
中
,∴
,
,
∴,又
平面
,
平面
,∴
,
,∴
平面
,而
平面
,
∴,∴
是二面角
的平面角,∴
=45°。
∴,∴
,
又由平面
,得
,
,∴
平面
,而
,∴
平面
,又∵
平面
,
∴平面⊥平面
;
(2)由(1),以为
轴建立空间直角坐标系,如图,则
,
,
,
,
,由(1)
是平面
的一个法向量,
设直线与平面
所成角为
,
则,
,所以
.
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