题目内容

【题目】已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】解:(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=ex+2ax﹣e

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,

∴k=2a=0,∴a=0

∴f(x)=ex﹣ex,f′(x)=ex﹣e

令f′(x)=ex﹣e<0,可得x<1;令f′(x)>0,可得x>1;

∴函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,1),单调增区间为(1,+∞)

(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0

令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0

∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P,∴g(x)有唯一零点

∵g(x0)=0,g′(x)=

(i)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,∴x>x0时,g(x)>g(x0)=0

当x<x0时,g′(x)<0,∴x<x0时,g(x)>g(x0)=0,故g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意;

(ii)若a<0,令h(x)= ,则h(x0)=0,h′(x)=ex+2a

令h′(x)=0,则x=ln(﹣2a),∴x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),h′(x)<0,函数单调递减;x∈(ln(﹣2a),+∞),h′(x)>0,函数单调递增;

①若x0=ln(﹣2a),由x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),g′(x)>0;x∈(ln(﹣2a),+∞),g′(x)>0,∴g(x)在R上单调递增

∴g(x)只有唯一零点x=x0

②若x0>ln(﹣2a),由x∈(ln(﹣2a),+∞),h(x)单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(ln(﹣2a),x0),g′(x)<0,g(x)>g(x0)=0

任取x1∈(ln(﹣2a),x0),g(x1)>0,

∵x∈(﹣∞,x1),∴g(x)<ax2+bx+c,其中b=﹣e﹣f′(x0).c=

∵a<0,∴必存在x2<x1,使得

∴g(x2)<0,故g(x)在(x2,x1)内存在零点,即g(x)在R上至少有两个零点;

③若x0<ln(﹣2a),同理利用 ,可得g(x)在R上至少有两个零点;

综上所述,a<0,曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P(ln(﹣2a),f(ln(﹣2a)))


【解析】(Ⅰ)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,可求a的值,令f′(x)=ex﹣e<0,可得函数f(x)的单调减区间;令f′(x)>0,可得单调增区间;(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0),令g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P等价于g(x)有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论:(1)若a≥0,g(x)只有唯一零点x=x0,由P的任意性a≥0不合题意(2)若a<0,令h(x)= ,则h(x0)=0,h′(x)=ex+2a,可得函数的单调性,进而可研究g(x)的零点,由此可得结论.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.

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