Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，切曲线于点P，设．

(I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）时,.

解析试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，直线的斜率为在的导函数值，从而得到直线的方程为；进一步通过确定纵、横截距，计算三角形的面积.
（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论导函数的正负，确定最值”. 注意到本题驻点唯一，其必是“最值点”.
试题解析：Ⅰ），直线的斜率为，
直线的方程为
令得  3分
令,得,
的面积,             6分

（Ⅱ）,
因为,由,得,            9分
当时, ,
当时, .
已知在处, ,故有，
故当时,               13分
考点：生活中的优化问题举例，导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的最值.