题目内容
【题目】某饮料生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2017年度进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足 .已知2017年生产饮料的设备折旧,维修等固定费用为3万元,每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用,若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则该年生产的饮料正好能销售完.
(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
【答案】
(1)解:当年销量为x万件时,成本为3+32x(万元).
饮料的售价为 ×150%+
×
(万元/万件),
所以年利润y= x-(3+32x+t)(万元),
把x= 代入整理得到y=
,其中t≥0.
(2)解:由(1)知y= =
=50-
≤50-2
=42(万元),
当且仅当 =
,即t=7时,ymax=42.
所以该企业2017年的促销费投入7万元时,企业的年利润最大为42万元.
【解析】(1)确定饮料的售价,即可通过x表示出年利润y,化简代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数;
(2)根据已知代入(1)的函数,分别进行化简,利用关于t的方程必须有两正根建立关系式,可求出最值,即促销费投入多少万元时,企业的年利润最大.
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