题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为2。
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上是否存在一点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求点P的坐标与直线l的方程;若不存在,说明理由。
【答案】(1); (2)
,直线
,或
,直线
.
【解析】
(1) 设,可得直线l的方程为
,运用点到直线距离公式,可求出c,再由离心率公式即可求出a,b从而可得椭圆方程;
(2) 设,
,
, 设
代入椭圆方程消元,再由韦达定理和向量的坐标运算,求出点P的坐标,代入椭圆方程,即可求出结果.
(1)设,可得直线l的方程为
,
即为,由坐标原点O到l的距离为2,
即有,解得
,
由,可得
,b=2,
即有椭圆的方程为;
(2)设,
,
,
①当直线的斜率存在,设其方程为:
由,消去y得
.
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
将P点坐标代入椭圆得,
∴,∴
(
舍去),即为
.
当时,
,直线
,
当时,
,直线
.
②当直线的斜率不存在时,直线
的方程为:
,
依题意,四边形OAPB为菱形,此时点P不在椭圆上,
即当直线的斜率不存在时,不适合题意;
综上所述,存在P,且,直线
,
或,直线
.
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