题目内容
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
（1）见解析（2）
【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝
AB，得AC⊥BC.
以C为坐标原点，
的方向为x轴正方向，
的方向为y轴正方向，
的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，
＝(0,2,1)，
＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则
即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，
则
即
可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝
＝
，故sin〈n，m〉＝
.
即二面角D－A1C－E的正弦值为
.
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