Question

求下列双曲线的标准方程：
（1）过点（3，-1），渐近线方程是y=±3x；
（2）与椭圆

x2

16

+

y2

64

=1有相同的焦点，且离心率为

2

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±3x，可设双曲线方程为 9x²-y²=λ（λ≠0），又由双曲线过点（3，-1），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．
（2）由椭圆的性质，可得椭圆

x2

16

+

y2

64

=1的焦点坐标，由双曲线的离心率可设双曲线方程为为 y²-x²=a²（a＞0），则可得a的值，进而可得双曲线方程．

解答：解：根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±3x，
设双曲线方程为 9x²-y²=λ（λ≠0），
∵双曲线过点（3，-1），
∴9×9-1=λ，即λ=80．
∴所求双曲线方程为

x2

80 9

-

y2

80

=1；
（2）∵椭圆

x2

16

+

y2

64

=1的焦点坐标为（0，4

3

）和（0，-4

3

），
根据双曲线的离心率为

2

．则可设双曲线方程为 y²-x²=a²（a＞0），
∵c=4

3

，即

2

a=4

3

，
∴a=2

6

．
故所求双曲线方程为

y2

24

-

x2

24

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的标准方程以及椭圆的简单几何性质，注意区分并记忆椭圆、双曲线的几何性质及标准方程的形式．