Question

求下列双曲线的标准方程．
（1）与椭圆

x2

16

+

y2

25

=1共焦点，且过点(1，

5

2

)的双曲线；
（2）与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有相同渐近线，且过点(2

2

，1)的双曲线．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的焦点与椭圆的焦点相同可求出c的值，设出双曲线方程，将点代入可求出所求；
（2）与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有相同渐近线的双曲线方程可设为

x2

16

-

y2

4

=λ，将点代入可求出λ的值，从而可求出所求．

解答：解：（1）椭圆

x2

16

+

y2

25

=1焦点坐标为（0，3），在y轴上
∴所求双曲线的焦点坐标为（0，3），c=3
故设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

9-a2

=1
∵点(1，

5

2

)在双曲线上
∴

( 5 2 )2

a2

-

12

9-a2

=1解得a²=5，
∴所求双曲线方程为

y2

5

-

x2

4

=1
（2）与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有相同渐近线的双曲线方程可设为

x2

16

-

y2

4

=λ
而点(2

2

，1)在双曲线上则

(2 2 )2

16

-

12

4

=λ解得λ=

1

4

∴所求双曲线方程为

x2

4

-y2=1

点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的标准方程，以及圆锥曲线的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．