题目内容
【题目】已知关于x的一元二次函数
，分别从集合
和
中随机取一个数
和
得到数对
．
（1）若
， 
，求函数
在
内是偶函数的概率；
（2）若
， 
，求函数
有零点的概率；
（3）若
， 
，求函数
在区间
上是增函数的概率．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【解析】试题分析：
（1）列出数对数对
的所有情况，根据函数为偶函数得
，然后由古典概型概率公式求解即可．（2）列出数对数对
的所有情况，由条件得要使
有零点，则满足
，然后由古典概型概率公式求解即可．（3）要使
单调递增，则需满足
，即
，然后根据几何概型概率公式求解．
试题解析：
（1）由已知得
， 
，
则分别从集合
和
中随机取一个数
和
得到数对
的所有可能的情况有： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，共有18对．
要使
是偶函数，则须有
，故满足条件的有序数对有
， 
， 
，共有3对．
由古典概型概率公式可得所求概率为
．
故函数
在
内是偶函数的概率为
．
（2）由已知得， 
， 
，所有的有序数列有
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，共有18对．
要使
有零点，则需满足
，可得满足条件的有序数对有
， 
，
， 
， 
， 
，共有6对．
由古典概型概率公式可得所求概率为
．
故函数
有零点的概率为
．
（3）要使
单调递增，则需满足
，即
，
由题意得所有的基本事件构成的平面区域为
．
要使
单调递增，则需满足
，即
．
设“函数
在区间
上是增函数”为事件A，
则事件A包含的基本事件构成的平面区域为
．
由几何概型概率公式可得
．
故函数
在区间
上是增函数的概率为
．
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