Question

【题目】如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，其中在轴的同一侧.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）是否存在题设中的点，使得？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再结合离心率为 ，解出，，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得,再根据实轴长等于虚轴长得（2）设P点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD方程,利用韦达定理及弦长公式求；根据椭圆性质确定直线AB,CD斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P点坐标

试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

（2）设，则，在双曲线上，，设 方程为，

的方程为，设，则

，

，

同理，， 由题知，

，.

，

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