题目内容
【题目】已知四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
是
中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)首先在相应的平面内借助于三角形的中位线，得到对应的平行线，再根据线面平行的判定定理证得线面平行的结果；
(2)利用几何体中的垂直关系，建立相应的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量所成角的余弦值的绝对值求得对应的线面角的正弦值.
详解：（1）证明：取
的中点
，连接
、
，
∵
、分别为
、的中点，
∴
，且
，
又∵
，
∴
且
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
又∵
平面
，
平面，
∴
平面．
（2）以
为坐标原点，、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
，
，
∴
即
令
，则
，
，
，
设直线
与平面所成角为
，
．
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