题目内容

 已知函数,在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.

    (1) 求函数f(x)的解析式;

(2) 若对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有,求实

    数c的最小值;

   (3) 若过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围。

解:(1)    …………1分

    根据题意,得解得………3分

     ∴f(x)=x3-3x.    .  ………………4分

(2)令f'(x)= 3x2-3=O,即3x2-3=O,解得x=±1.

∵f(-1)=2,f(1)=-2,∴当x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有

,所以c≥4.

所以c的最小值为4.    …………………8分

(3)∵点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上,∴设切点为(x0,y0).则

,∴切线的斜率为

,即

因为过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,

所以方程有三个不同的实数解.

即函数g(x)= 2x3-6x2+6+m有三个不同的零点.

则g'(x)=6x2-12x.令g'(x)=0,解得x=O或x=2.

解得-6<m<2.    ……………………l4分[来源:Z,xx,k.Com]

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