Question

（本题满分14分）

    已知函数，在点（1，f(1))处的切线方程为y+2=0．

    (1) 求函数f(x）的解析式；

(2) 若对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有，求实

    数c的最小值；

   （3) 若过点M(2,m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围，

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)    …………1分

    根据题意，得即解得………3分

     ∴f(x)=x³-3x．    ．  ………………4分

(2)令f'(x)= 3x²-3=O，即3x²-3=O，解得x=±1．

∵f(-1)=2，f(1)=-2，∴当x∈[-2，2]时，f(x)_max=2，f(x)_min=-2．

则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有

,所以c≥4．

所以c的最小值为4．    …………………8分

(3)∵点M（2，m)(m≠2）不在曲线y=f(x)上，∴设切点为(x₀，y₀)．则

，∴切线的斜率为

则，即

因为过点M(2，m)（m≠2），可作曲线y=f(x)的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

即函数g(x)= 2x³-6x²+6+m有三个不同的零点．

则g'(x)=6x²-12x.令g'(x)=0，解得x=O或x=2．

即解得-6<m<2.    ……………………l4分

 

【解析】略