Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，直线l：y=x+b．
（1）若直线l与圆C相切，求实数b的值；
（2）是否存在直线l，使l与圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点．如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线l与圆C相切，圆心（1，-2）到l的距离d=r，建立方程，可求实数b的值；
（2）假设垂直．将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证

解答：解：（1）由x²+y²-2x+4y-4=0，整理得（x-1）²+（y+2）²=9．…（2分）
若直线l和圆C相切，则有圆心（1，-2）到l的距离d=r，
即 

|3+b|

2

=3，∴b=-3±3

2

．…（4分）
（2）设存在满足条件的直线l，
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0.

消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①…（6分）
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x1x2=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．             ②…（8分）
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0③
将②代入③得：b²+3b-4=0．                  …（12分）
解得：b=1或b=-4，
b=1时，方程为2x²+4x+1=0，判别式△=16-8＞0，满足题意
b=-4时，方程为2x²-6x-4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意
所以满足条件的直线l为：y=x+1或y=x-4．       …（14分）

点评：本题综合考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切、相交，充分利用圆的性质是我们解题的上策．