题目内容
15.幂函数f(x)的图象经过点($\sqrt{2}$,2),点(-2,$\frac{1}{4}$)在幂函数g(x)的图象上,(1)求f(x),g(x)的解析式.
(2)x为何值时f(x)>g(x)?x为何值时f(x)<g(x)?
分析 (1)根据幂函数的定义,利用待定系数法即可求f(x)与g(x)的解析式;
(2)根据幂函数的图象和性质即可解不等式.
解答 解:(1)因为f(x),g(x)均为幂函数,
所以,设f(x)=xa,g(x)=xb,
再将($\sqrt{2}$,2),(-2,$\frac{1}{4}$)分别代入f(x),g(x)得,
$(\sqrt{2})^{a}$=2,(-2)b=$\frac{1}{4}$,
解得a=2,b=-2,
所以,f(x)=x2,g(x)=x-2;
(2)在同一坐标系中,画出f(x),g(x)的图象,如右图,
当f(x)=g(x)时,解得x=1或x=-1,由图可知,
①当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f(x)<g(x);
②当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x).
点评 本题主要考查了幂函数的图象和性质的应用,利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键,属于中档题.
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