题目内容
【题目】已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.
(1)若直线和圆总有两个不同的公共点,求k的取值集合
(2)求当k取何值时,直线被圆截得的弦最短,并求这最短弦的长.
【答案】(1)R(2)
【解析】【试题分析】(1)依据题设运用弦心距与半径之间的关系进行分析求解;(2)借助题设条件与直线与圆的位置关系分析探求:
解:(1)已知圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=4,其圆心(3,4)到直线
kx-y-4k+3=0的距离为.
直线和圆总有两个不同的公共点,所以<2,即(k+1)2<4(1+k2),
即3k2-2k+3>0.而3k2-2k+3=3(k-)2+
>0恒成立.所以k的取值集合为R
(2)由于当圆心到直线的距离最大时,直线被圆截得的弦最短,
而d=,当且仅当k=1时,“=”成立,即k=1时,dmax=
.故当k=1时,直线被圆截得的弦最短,
该最短弦的长为。
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