Question

1．设a∈R，已知函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，3]，有f（x）+f′（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，f（x）=x³-3x²，求出函数的导数，求解函数的单调区间．
（II）题目转化为$a≤\frac{{3{x^2}+6x}}{{{x^3}+3{x^2}}}=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}$对x∈[1，3]恒成立．构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围．

解答 （共13分）
解：（I）当a=1时，f（x）=x³-3x²，
则f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（6分）
（II）依题意，对?x∈[1，3]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
这等价于，不等式$a≤\frac{{3{x^2}+6x}}{{{x^3}+3{x^2}}}=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}$对x∈[1，3]恒成立．
令$h（x）=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}（{x∈[{1，\;\;3}]}）$，
则$h′（x）=\frac{{3（{{x^2}+4x+6}）}}{{{{（{{x^2}+3x}）}^2}}}=-\frac{{3[{{{（{x+2}）}^2}+2}]}}{{{{（{{x^2}+3x}）}^2}}}＜0$，
所以h（x）在区间[1，3]上是减函数，
所以h（x）的最小值为$h（3）=\frac{5}{6}$．
所以$a≤\frac{5}{6}$，即实数a的取值范围为$（-∞，\;\;\frac{5}{6}]$．（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．