Question

正实数a、b、c是等差数列，函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，则x₁•x₂的符号是

 

（填正或负），其取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=0得到一个一元二次方程，根据韦达定理得到两根之积大于0即可；
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，令f（x）=0根的判别式大于0即(

a+c

2

)2-4ac＞0①且a，b，c成等差数列即2b=a+c②，将②代入①化简求出x₁•x₂的范围即可．

解答：解：（1）令f（x）=0，得到ax²+bx+c=0为一个一元二次方程，
根据韦达定理可知x₁•x₂=

c

a

，因为a＞0且c＞0得到x₁•x₂的符号为正；

（2）由题知a、b、c是等差数列，则2b=a+c即b=

a+c

2

，
因为函数图象与x轴有两个交点，得到△=b²-4ac＞0，
即(

a+c

2

)2-4ac＞0，化简得a²+c²-14ac＞0，两边都除以a²得：(

c

a

)2-14•

c

a

+1＞0，
设t=x₁•x₂=

c

a

，则不等式变为：t²-14t+1＞0，
化简得：[t-（7+4

3

）][t-（7-4

3

）]＞0，
所以t＞7+4

3

或t＜7-4

3

则x₁•x₂的取值范围是（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）．
故答案为：正，（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）

点评：考查学生灵活运用二次函数图象与性质解决数学问题，灵活运用等差数列的性质及韦达定理化简求值．