Question

（2012•天津）已知函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（2）由（1）知函数在区间（-2，-1）内单调递增，在（-1，0）内单调递减，从而函数在（-2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；
（3）a=1时，f（x）=

1

3

x3-x-1，由（1）知，函数在（-3，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[-3，-2]上的最小值；②当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，比较f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x-a），令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函数的递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a，）
（2）由（1）知函数在区间（-2，-1）内单调递增，在（-1，0）内单调递减，从而函数在（-2，0）内恰有两个零点，
∴

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，∴

- 2 3 -a＜0 1 6 - a 2 ＞0 -a＜0

，∴0＜a＜

1

3

∴a的取值范围为(0，

1

3

)；
（3）a=1时，f（x）=

1

3

x3-x-1，由（1）知，函数在（-3，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增
①当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减
因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值为g(-2)=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

②当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，下面比较f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上单调递增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

∴M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

∴g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

综上，函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值为

4

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．