Question

20．下列函数既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=xcosx
• C． y=x³
• D． y=lnx

Answer 1

分析 对选项一一加以分析，运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的性质，即可判断A，B，D错，C对．

解答 解：对于A．函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），函数为奇函数；
y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，则函数在（1，+∞），（-1，0）递增，在（0，1），（-∞，-1）递减，则A不满足条件；
对于B．y=xcosx的定义域为R，f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），函数为奇函数；由f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，
则函数不为增函数，则B不满足条件；
对于C．函数的定义域为R，f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x），函数为奇函数；由y′=3x²≥0，函数在R上递增，
即为增函数，则C满足条件；
对于D．函数为对数函数，定义域为（0，+∞），不关于原点对称，则不具奇偶性，则D不满足条件．
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，主要通过定义和常见函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题和易错题．