题目内容

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当 $数学公式$ 时，使不等式 $数学公式$
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由题意知f（x₁-x₂）＜0，则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函数．
（2）要使 $\text{[math]}$ ，
只须 $\text{[math]}$ ．
又由f（x）为单调增函数有 $\text{[math]}$ ．
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
原命题等价于 $\text{[math]}$ 恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ 上为减函数，故 g（t）的最大值为3，∴m＞3时，原命题成立．
分析：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，可得 f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．利用增函数的定义可证
f（x）是增函数．
（2）要使 $\text{[math]}$ ，令t=sinθ+cosθ，由 $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ 在t∈[1， $\text{[math]}$ ]上恒成立，故m应大于或等于t+ $\text{[math]}$ 的最大值，利用单调性求得
t+ $\text{[math]}$ 的最大值．
点评：本题考查抽象函数的性质，函数的值域及函数的恒成立问题，把问题转化为 $\text{[math]}$ 在
t∈[1， $\text{[math]}$ ]上恒成立，是解题的难点．

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已知函数f（x）=log₃

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

已知函数f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
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（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．