Question

8．设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），且方程f（x）=0的两实根的平方和为10，f（x）的图象过点（0，3）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求y=f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c，由条件f（x+2）=f（2-x）可得对称轴x=2，再由韦达定理，结合条件图象过点（0，3），可得c=3，a=1，b=-4，进而得到函数的解析式；
（2）由二次函数的对称轴和区间的关系，可得最值．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为：f（x）=ax²+bx+c，
因为二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），
所以二次函数的对称轴为：x=2，
即-$\frac{b}{2a}$=2，即$\frac{b}{a}$=-4，
f（x）=0的两实根平方和为10，
根据韦达定理，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
即有（-$\frac{b}{a}$）²-$\frac{2c}{a}$=10，
即16-$\frac{2c}{a}$=10，
即c=3a，
又f（x）图象过点（0，3），
即c=3，
所以a=1，b=-4，
综上所述，f（x）=x²-4x+3；
（2）由函数f（x）在[1，2]递减，在[2，3]递增，
则x=2处取得最小值，且为-1；
x=1或3处，取得最大值，且为0．
即有值域为[-1，0]．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数的对称性和二次方程的韦达定理的运用，以及二次函数的值域的求法，属于中档题．