题目内容
【题目】已知函数
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)见解析;(2)当或
时,函数有一个零点,当
且
时,函数有两个零点.
【解析】试题分析:
(1)分类讨论:当时,
的定义域为
,
,令
得:
,
,则
的单调递增区间为
.当
时,
的定义域为
,
,当
时,
的单调增区间为
,当
时,
.
的单调递增区间为
和
.
(2)由(1)知当时,
只有一个零点
,
当时,
在
处取极大值,
处取极小值.
,
,即
时,函数
只有一个零点
,
当时,令
在
单调递减,在
单调递增,
(当且仅当
时,等号成立),则:
时,
在
有两个零点.
时,
在
有两个零点.
时,函数在
有一个零点.故当
或
时,函数有一个零点,当
且
时,函数有两个零点.
试题解析:
(1)当时,
的定义域为
,
,令
得:
,
,
∴的单调递增区间为
.
当时,
的定义域为
,
,
当即
时,
的单调增区间为
,
当,即
时,
.
的单调递增区间为
和
.
(2)由(1)知当时,
在
内单调递增,
,
故只有一个零点
,
当时,
在
处取极大值,
处取极小值.
由知
,而
,则
,
,
∵,∴
,∴
,
∴当时,函数
只有一个零点
,
当时,
令,
,
在
单调递减,在
单调递增,
,∴
(当且仅当
时,等号成立),
i)时,
,
,
,
由(1)函数单调性知,,所以函数在
存在零点,
∴在
有两个零点.
ii)时,
,
,
,
同理可得函数在存在零点,
∴在
有两个零点.
iii)时,
,函数在
有一个零点.
综上所述:
当或
时,函数有一个零点,
当且
时,函数有两个零点.
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