Question

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA为正方形．
（i）求证：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）求证：P为棱A₁B₁上一点，求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

分析：（I）由几何体的三视图可知该几何体为底部为长方体，（该长方体的棱长分别为8，8，10），上部为半个圆柱（圆柱的底面直径为8，高为10）代入体积公式可求
（II）（i）由长方体的性质易得A₁B⊥AD，A₁B⊥AB₁，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（ii）将上底面A₁B₁C₁D₁展开，与平面A₁B₁BA共面时，连接AC₁交A₁B₁于点P，即AC₁为最短距离

解答：解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱V=8×8×10+

1

2

π×42×10=640+80π．（5分）
（Ⅱ）（i）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴AD⊥平面A₁B₁BA
∵A₁B?平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁B
又∵A₁B₁BA是边长为8的正方形
∴A₁B⊥AB₁
∵AB₁∩AD=A
∴A₁B⊥平面AB₁C₁D．（10分）
（ii）将上底面A₁B₁C₁D₁展开，与平面A₁B₁BA共面时，连接C₁A交A₁B₁于点P，即AC₁为最短距离．
此时长度为

82+182

=2

97

．（13分）

点评：本题主要考查了由三视图还原实物图的能力，直线与平面垂直的判定定理的应用，平面展开图的运用你，解决此题的关键是要求考生具备很强的空间想象能力．