Question

【题目】已知：函数f（x）= x2+ax﹣2a2lnx，（a≠0）． （I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函数 的定义域为（0，+∞） ∴ = =
∵a＞0，令f′（x）=0，则x=﹣2a（舍去），或x=a
∵当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，∵当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，a）为函数 的单调递减区间，
（a，+∞）为函数 的单调递增区间；
（II）由（I）得当x=a时，函数取最小值 a2﹣2a2lna
若f（x）＞0恒成立
则 a2﹣2a2lna= a2（3﹣4lna）＞0
即3﹣4lna＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0， ）
【解析】（I）先求出函数的定义域，进而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；（II）若f（x）＞0恒成立，则f（x）的最小值大于0，根据（I）中结论，求出函数的最小值，代入构造关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．