题目内容
17、如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥DC．
分析：（1）令E为PD的中点，连接AE，NE，根据三角形中位线定理，及中点的定义，我们易判断MN∥AE，结合线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；
（2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．
（2）根据已知中，四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我们易结合线面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，进而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根据两条平行线与同一条直线的夹角相等，即可得到结论．
解答：证明：（1）设PD的中点为E，连AE，NE，
则易得四边形AMNE是平行四边形
则MN∥AE，MN?平面PAD，AE?平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC
则易得四边形AMNE是平行四边形
则MN∥AE，MN?平面PAD，AE?平面PAD
所以MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又AD⊥CD，PA∩DA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴CD⊥AE
∵MN∥AE
∴MN⊥DC
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握线面平行及线面垂直的判定定理及证明步骤是解答此类问题的关键．
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