Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n²+2a_n=4S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）b_n=

4

an2

（n∈N°），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出；
（II）利用b_n=

4

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，（n≥3），即可证明．

解答： （I）解：∵a_n²+2a_n=4S_n，∴当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-(

a

2 n-1

+2an-1)，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，

a

2 1

+2a1=4a1，解得a₁=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）证明：b_n=

4

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，（n≥3），
∴当n≥3时，T_n=b₁+b₂+…+b_n≤1+

1

4

+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=

5

3

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＜

5

3

．
当n=1，2时，验证成立．
∴?n∈N^*，T_n＜

5

3

．

点评：本题考查了递推式的应用、“放缩法”证明不等式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．