题目内容

(本题满分14分)已知函数(常数.
(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数(为自然对数的底数).

解:(Ⅰ)当时,.         …1分
.             又,                         
∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:
设 ,则
且仅当,所以,上是增函数,故
所以,,即.   …………………………5分
(2)因为,所以.
因为当时,,当时,.
,所以上是减函数,在
上是增函数.所以,    …9分
(3)下面讨论函数的零点情况.
①当,即时,函数上无零点; 
②)当,即时,,则
上有一个零点;  
③当,即时, ,
由于

所以,函数上有两个零点.    ……………………………………13分
综上所述,上,我们有结论:当时,函数无零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点.           ………………………………14分
解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数的定义域为
 .      ………5分
∴当时,,当时,<

解析

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