题目内容
(本题满分14分)已知函数(常数.
(Ⅰ) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数(为自然对数的底数).
解:(Ⅰ)当时,. …1分
. 又,
∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分
(Ⅱ)(1)下面先证明:.
设 ,则,
且仅当,所以,在上是增函数,故.
所以,,即. …………………………5分
(2)因为,所以.
因为当时,,当时,.
又,所以在上是减函数,在
上是增函数.所以, …9分
(3)下面讨论函数的零点情况.
①当,即时,函数在上无零点;
②)当,即时,,则
而,∴在上有一个零点;
③当,即时, ,
由于,,
,
所以,函数在上有两个零点. ……………………………………13分
综上所述,在上,我们有结论:当时,函数无零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点. ………………………………14分
解法二:(Ⅱ)依题意,可知函数的定义域为,
. ………5分
∴当时,,当时,<
解析
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