Question

【题目】已知函数.

(1)若,曲线在点处的切线在两坐标轴上的截距之和为,求的值；

(2)若对于任意的及任意的,总有成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)-2；(2).

【解析】分析：(1)利用导数的几何意义求得切线方程为，由截距之和为可得，从而可得结果；（2）等价于，.设,则,所以在上为单调递增函数，利用导数研究函数的单调性，只需, 对于恒成立，从而可得结果.

详解：(1)因为,

所以,.

又因为切点坐标为,所以切线方程为.

令,得；令，得.

由，化简得，

解得或,又,所以.

(2)不妨设,由(1)知, ,,

所以为增函数,从而.

所以等价于，

即，所以.

设,则,所以在上为单调递增函数，

因此, 对于恒成立，

所以,即对于恒成立.

设 ，则 ，

所以在上单调递增, ，

因此, ,即.