题目内容

在△ABC中，已知cosA= $数学公式$ ，cos（A-B）= $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求tan2A的值；　　　
（2）求角B．

解：（1）∵cosA= $\text{[math]}$ 且 A∈（0， $\text{[math]}$ ），∴tanA=4 $\text{[math]}$ ．
故 tan2A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）∵A∈（0， $\text{[math]}$ ），cosA= $\text{[math]}$ ，∴sinA= $\text{[math]}$ ．
又 B＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜A-B＜ $\text{[math]}$ ，∵cos（A-B）= $\text{[math]}$ ，∴sin（A-B）= $\text{[math]}$ ．
∴cosB=cos[A-（A-B）]=cosAcos（A-B）+sinAsin（A-B）= $\text{[math]}$ ．
∵B∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴B= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求出tanA=4 $\text{[math]}$ ，再利用二倍角的正切公式求出 tan2A 的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求出 sinA，再根据A-B的范围求出 cos（A-B）和 sin（A-B）的值，由 cosB=cos[A-（A-B）]，利用两角和差的余弦公式求得结果．
点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．